施图姆与刘维尔讨论着解多种情况的偏微分方程的问题。
施图姆说：“解偏微分方程，不是简答的事情。”
施图姆和刘维尔开始各自观察和手写偏微分方程的各种不同情况。
他们知道，如果想要用分离变量法去研究，需要附有边界条件。
在参数取特定值时，才会出现非零解，这些特定值就是本征值，相应的非零解叫本证函数。
所以他们求偏微分方程，也就是在求本征值问题。
后来两个人得到了七种本征值的情形。
第一种情况的，是简单本征值。
第二种情况的，勒让德方程本征值。
第三种情况的，连带勒让德方程本征值。
第四种情况的，贝塞尔方程本征值。
第五种情况的，埃尔米特方程本征值。
第六种情况的，拉盖尔方程本征值。
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